Zadanie 199

Zauważmy, że $$5^{2n}=(5^2)^n=25^n.$$ Wystarczy więc wykazać, że liczba $$25^n-1$$ jest podzielna przez $24$.

Ponieważ $$25=24+1,$$ to $$25^n-1=(24+1)^n-1.$$

Korzystamy ze wzoru dwumianowego Newtona: $$(24+1)^n=\binom{n}{0}24^0+\binom{n}{1}24^1+\binom{n}{2}24^2+\dots+\binom{n}{n}24^n.$$ Zatem $$(24+1)^n=1+24n+\binom{n}{2}24^2+\dots+\binom{n}{n}24^n.$$ Po odjęciu $1$ otrzymujemy: $$(24+1)^n-1=24n+\binom{n}{2}24^2+\dots+\binom{n}{n}24^n.$$

Każdy składnik po prawej stronie jest podzielny przez $24$, więc cała suma także jest podzielna przez $24$.

A zatem $$24\mid\big((24+1)^n-1\big),$$ czyli $$24\mid(25^n-1).$$ Stąd $$24\mid(5^{2n}-1).$$

Odpowiedź: Dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba $5^{2n}-1$ jest podzielna przez $24$.