Tworząca stożka ma długość $10$. Kąt rozwarcia stożka ma miarę $90^\circ$. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego stożka.
Kąt rozwarcia stożka to kąt przy wierzchołku w przekroju osiowym, więc połowa tego kąta wynosi
$$\frac{90^\circ}{2}=45^\circ.$$
W przekroju osiowym mamy trójkąt prostokątny, w którym:
- tworząca $l=10$,
- kąt przy wierzchołku wynosi $45^\circ$,
- przyprostokątne to promień $r$ i wysokość $H$.
Krok 1. Obliczamy promień podstawy.
$$r=10\sin45^\circ=10\cdot\frac{\sqrt2}{2}=5\sqrt2.$$
Krok 2. Obliczamy pole podstawy.
$$P_p=\pi r^2=\pi(5\sqrt2)^2=50\pi.$$
Krok 3. Obliczamy pole powierzchni bocznej.
$$P_b=\pi r l=\pi\cdot5\sqrt2\cdot10=50\sqrt2\pi.$$
Krok 4. Pole całkowite.
$$P_c=P_p+P_b=50\pi+50\sqrt2\pi=50\pi(1+\sqrt2).$$
Odpowiedź:
$$50\pi(1+\sqrt2).$$