Tworząca stożka ma długość $8$. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę $120^\circ$. Oblicz objętość tego stożka.
Kąt rozwarcia stożka to kąt przy wierzchołku w przekroju osiowym, więc połowa tego kąta wynosi
$$\frac{120^\circ}{2}=60^\circ.$$
W przekroju osiowym otrzymujemy trójkąt prostokątny, w którym:
- przeciwprostokątna (tworząca) ma długość $8$,
- kąt przy wierzchołku wynosi $60^\circ$,
- przyprostokątne to wysokość $H$ i promień podstawy $r$.
Krok 1. Obliczamy promień podstawy.
$$r=8\sin60^\circ=8\cdot\frac{\sqrt3}{2}=4\sqrt3.$$
Krok 2. Obliczamy wysokość stożka.
$$H=8\cos60^\circ=8\cdot\frac12=4.$$
Krok 3. Obliczamy objętość.
$$V=\frac13\pi r^2 H.$$
$$V=\frac13\pi\cdot(4\sqrt3)^2\cdot4.$$
$$V=\frac13\pi\cdot48\cdot4.$$
$$V=\frac{192\pi}{3}=64\pi.$$
Odpowiedź:
$$64\pi.$$