W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dany jest równoległobok $ABCD$, w którym
$$A=(2,1),\qquad B=(8,3).$$
Punkt przecięcia przekątnych jest równy
$$P=(7,6).$$
Wyznacz współrzędne punktu $D$ oraz oblicz pole tego równoległoboku.
Krok 1. Wyznaczamy punkt $C$.
Punkt $P$ jest środkiem przekątnej $AC$, więc
$$\left(7,6\right)=\left(\frac{2+x_C}{2},\frac{1+y_C}{2}\right).$$
$$2+x_C=14,\qquad 1+y_C=12,$$
$$x_C=12,\qquad y_C=11.$$
Zatem
$$C=(12,11).$$
Krok 2. Wyznaczamy punkt $D$.
Punkt $P$ jest także środkiem przekątnej $BD$:
$$\left(7,6\right)=\left(\frac{8+x_D}{2},\frac{3+y_D}{2}\right).$$
$$8+x_D=14,\qquad 3+y_D=12,$$
$$x_D=6,\qquad y_D=9.$$
Zatem
$$D=(6,9).$$
Krok 3. Obliczamy pole równoległoboku.
Pole równoległoboku to pole równoległoboku rozpiętego na wektorach:
$$\vec{AB}=(8-2,\;3-1)=(6,2),$$
$$\vec{AD}=(6-2,\;9-1)=(4,8).$$
Pole:
$$P=|6\cdot8-2\cdot4|=|48-8|=40.$$