W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dany jest równoległobok $ABCD$, w którym
$$A=(1,4),\qquad B=(9,2).$$
Przekątne $AC$ oraz $BD$ tego równoległoboku przecinają się w punkcie
$$P=(6,5).$$
Oblicz długość boku $BC$.
W równoległoboku przekątne przecinają się w swoich środkach. Zatem punkt $P$ jest środkiem odcinka $AC$ oraz środkiem odcinka $BD$.
Krok 1. Wyznaczamy współrzędne punktu $C$.
Korzystamy ze wzoru na środek odcinka:
$$P=\left(\frac{x_A+x_C}{2},\frac{y_A+y_C}{2}\right).$$
Podstawiamy dane:
$$\left(6,5\right)=\left(\frac{1+x_C}{2},\frac{4+y_C}{2}\right).$$
Otrzymujemy układ:
$$\frac{1+x_C}{2}=6,\qquad \frac{4+y_C}{2}=5.$$
Stąd:
$$1+x_C=12,\qquad 4+y_C=10,$$
$$x_C=11,\qquad y_C=6.$$
Zatem
$$C=(11,6).$$
Krok 2. Obliczamy długość boku $BC$.
Mamy:
$$B=(9,2),\qquad C=(11,6).$$
Korzystamy ze wzoru na odległość punktów:
$$BC=\sqrt{(11-9)^2+(6-2)^2}.$$
$$BC=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt5.$$