Cyfry parzyste:
$$0,2,4,6 \quad (4\ \text{cyfry}),$$
cyfry nieparzyste:
$$1,3,5 \quad (3\ \text{cyfry}).$$
Warunek podzielności przez $5$ oznacza, że ostatnia cyfra musi być równa
$$0 \ \text{lub}\ 5.$$
Rozpatrujemy dwa przypadki.
Przypadek 1: ostatnia cyfra to $0$.
Mamy już jedną cyfrę parzystą (0), więc musimy wybrać jeszcze:
- $1$ cyfrę parzystą z $\{2,4,6\}$ — $3$ możliwości,
- $2$ cyfry nieparzyste z $\{1,3,5\}$ — $\binom{3}{2}=3$ możliwości.
Razem wyborów cyfr:
$$3\cdot3=9.$$
Teraz ustawiamy te $3$ cyfry na pierwszych trzech miejscach (pierwsza nie może być zerem, ale tu go nie ma):
$$3!=6.$$
Zatem w tym przypadku:
$$9\cdot6=54.$$
Przypadek 2: ostatnia cyfra to $5$.
Mamy jedną cyfrę nieparzystą, więc musimy mieć:
- dokładnie $2$ cyfry parzyste z $\{0,2,4,6\}$ — $\binom{4}{2}=6$,
- $1$ dodatkową cyfrę nieparzystą z $\{1,3\}$ — $2$ możliwości.
Razem:
$$6\cdot2=12$$
zestawów cyfr.
Teraz ustawiamy te $3$ cyfry na pierwszych trzech miejscach, ale uwaga: nie możemy zaczynać od $0$.
Najpierw wszystkie permutacje:
$$3!=6.$$
Odejmujemy te, które zaczynają się od $0$.
Jeśli wśród cyfr jest $0$, to:
- ustawiamy $0$ na początku,
- pozostałe $2$ cyfry można ustawić na $2!=2$ sposoby.
Zatem liczba poprawnych ustawień zależy od tego, czy wybraliśmy $0$:
- jeśli $0$ nie ma wśród wybranych cyfr (czyli wybieramy 2 z $\{2,4,6\}$ — $\binom{3}{2}=3$):
$$3\cdot2=6$$ zestawów, każdy daje $6$ liczb:
$$6\cdot6=36,$$
- jeśli $0$ jest wśród cyfr (wybieramy $0$ i jedną z $\{2,4,6\}$ — $3$ możliwości oraz $2$ wybory nieparzystej):
$$3\cdot2=6$$ zestawów,
dla każdego:
$$6-2=4$$ poprawne ustawienia,
czyli
$$6\cdot4=24.$$
Razem w tym przypadku:
$$36+24=60.$$
Krok 3. Suma przypadków.
$$54+60=114.$$
Odpowiedź: Można utworzyć
$$114$$
takich liczb.