Dla jakich wartości parametru $m$ prosta
$$y=(m-2)x+1$$
przecina okrąg
$$(x-1)^2+(y-2)^2=5$$
w dwóch różnych punktach?
Prosta przecina okrąg w dwóch różnych punktach wtedy i tylko wtedy, gdy po podstawieniu równania prostej do równania okręgu otrzymamy równanie kwadratowe o dwóch różnych rozwiązaniach, czyli o deltcie dodatniej: $$\Delta>0.$$
Krok 1. Podstawiamy równanie prostej do równania okręgu.
Mamy
$$y=(m-2)x+1.$$
Podstawiamy do równania okręgu:
$$(x-1)^2+\big((m-2)x+1-2\big)^2=5.$$
Upraszzamy:
$$(x-1)^2+\big((m-2)x-1\big)^2=5.$$
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe względem $x$:
$$\big(1+(m-2)^2\big)x^2+(2-2m)x-3=0.$$
Krok 2. Warunek na dwa różne punkty wspólne.
To równanie ma mieć dwa różne rozwiązania, więc
$$\Delta>0.$$
Liczymy deltę:
$$\Delta=(2-2m)^2-4\big(1+(m-2)^2\big)(-3).$$
$$\Delta=4(m-1)^2+12\big(1+(m-2)^2\big).$$
Warunek:
$$16m^2-56m+64>0.$$
Dzielimy stronami przez $8$:
$$2m^2-7m+8>0.$$
Krok 3. Rozwiązujemy nierówność kwadratową.
Obliczamy deltę:
$$\Delta_{1}=(-7)^2-4\cdot2\cdot8=49-64=-15.$$
Ponieważ
$$\Delta_{1}<0,$$
a współczynnik przy $m^2$ jest dodatni, trójmian
$$2m^2-7m+8$$
jest dodatni dla każdej liczby rzeczywistej $m$. Zatem nierówność
$$2m^2-7m+8>0$$
jest spełniona dla każdego
$$m\in\mathbb{R}.$$
Wniosek.
Dla każdej liczby rzeczywistej $m$ prosta
$$y=(m-2)x+1$$
przecina dany okrąg w dwóch różnych punktach.