Zadanie 188

Mamy wyrażenie typu „$\infty - \infty$”, więc stosujemy mnożenie przez sprzężenie.

$$a_n=\sqrt{n^2+3n}-n \cdot \frac{\sqrt{n^2+3n}+n}{\sqrt{n^2+3n}+n}.$$ Otrzymujemy: $$a_n=\frac{n^2+3n-n^2}{\sqrt{n^2+3n}+n} =\frac{3n}{\sqrt{n^2+3n}+n}.$$

Wyłączamy $n$ przed pierwiastek: $$\sqrt{n^2+3n}=n\sqrt{1+\frac{3}{n}}.$$ Zatem: $$a_n=\frac{3n}{n\sqrt{1+\frac{3}{n}}+n} =\frac{3n}{n\left(\sqrt{1+\frac{3}{n}}+1\right)}.$$

Skracamy przez $n$: $$a_n=\frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{n}}+1}.$$

Przechodzimy do granicy: $$\lim_{n\to\infty}\frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{n}}+1} =\frac{3}{\sqrt{1+0}+1} =\frac{3}{2}.$$

Odpowiedź: $$\frac{3}{2}.$$