Cyfry parzyste:
$$2,4,6 \quad (3\ \text{cyfry}),$$
cyfry nieparzyste:
$$1,3,5,7 \quad (4\ \text{cyfry}).$$
Szukamy liczb czterocyfrowych:
- złożonych z różnych cyfr,
- z dokładnie $2$ cyframi parzystymi,
- o sumie cyfr podzielnej przez $3$.
Krok 1. Wybór cyfr.
Wybieramy:
$$2$$ cyfry parzyste z $3$:
$$\binom{3}{2}=3,$$
$$2$$ cyfry nieparzyste z $4$:
$$\binom{4}{2}=6.$$
Łącznie zestawów cyfr:
$$3\cdot6=18.$$
Krok 2. Warunek podzielności przez $3$.
Suma cyfr musi być podzielna przez $3$. Rozważamy reszty z dzielenia przez $3$:
Cyfry parzyste:
$$2\equiv2,\quad 4\equiv1,\quad 6\equiv0 \pmod{3}.$$
Cyfry nieparzyste:
$$1\equiv1,\quad 3\equiv0,\quad 5\equiv2,\quad 7\equiv1 \pmod{3}.$$
Sprawdzamy możliwe kombinacje dwóch cyfr parzystych i dwóch nieparzystych, aby suma była podzielna przez $3$.
Przykładowo:
- $(2,4)$ daje resztę $2+1=3\equiv0$,
- $(2,6)$ daje $2+0=2$,
- $(4,6)$ daje $1+0=1$.
Analogicznie analizujemy cyfry nieparzyste i dobieramy pary tak, aby całkowita suma była podzielna przez $3$.
Po przeanalizowaniu wszystkich przypadków otrzymujemy, że spełniających warunek zestawów cyfr jest
$$6.$$
Krok 3. Permutacje cyfr.
Z każdego zestawu $4$ różnych cyfr można utworzyć
$$4!=24$$
różne liczby czterocyfrowe.
Krok 4. Wynik.
$$6\cdot24=144.$$
Odpowiedź: Istnieją
$$144$$
takie liczby.