Zadanie 186

Krok 1. Długości boków trójkąta $PQR$.
Obliczamy odległości: $$PQ=\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2} =\frac12\sqrt{a^2+b^2},$$ $$PR=\frac12\sqrt{a^2+c^2},$$ $$QR=\frac12\sqrt{b^2+c^2}.$$

Z treści: $$PQ=5,\quad PR=\sqrt{34},\quad QR=\sqrt{41}.$$ Zatem: $$\frac12\sqrt{a^2+b^2}=5 \Rightarrow a^2+b^2=100,$$ $$\frac12\sqrt{a^2+c^2}=\sqrt{34} \Rightarrow a^2+c^2=136,$$ $$\frac12\sqrt{b^2+c^2}=\sqrt{41} \Rightarrow b^2+c^2=164.$$

Krok 2. Wyznaczamy $a^2,\;b^2,\;c^2$.
Dodajemy dwa pierwsze równania i odejmujemy trzecie: $$ (a^2+b^2)+(a^2+c^2)-(b^2+c^2)=100+136-164,$$ $$2a^2=72,$$ $$a^2=36 \Rightarrow a=6.$$ Podstawiamy: $$36+b^2=100 \Rightarrow b^2=64 \Rightarrow b=8,$$ $$36+c^2=136 \Rightarrow c^2=100 \Rightarrow c=10.$$

Krok 3. Obliczamy objętość.
$$V=a\cdot b\cdot c=6\cdot8\cdot10=480.$$

Odpowiedź: $$V=480.$$