Zadanie 186

Rozwiązanie.
Oznaczmy boki prostokąta przez $$a \quad \text{i} \quad b.$$ Po połączeniu środków boków prostokąta powstaje romb.

Krok 1. Korzystamy z obwodu rombu.
Bok powstałego rombu jest równy połowie przekątnej prostokąta, więc $$\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}$$ jest długością boku rombu.
Obwód rombu wynosi $40$, więc jeden bok ma długość $$\frac{40}{4}=10.$$ Zatem $$\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}=10,$$ $$\sqrt{a^2+b^2}=20,$$ $$a^2+b^2=400.$$

Krok 2. Korzystamy z pola rombu.
Przekątne tego rombu mają długości równe bokom prostokąta, czyli: $$d_1=a,\qquad d_2=b.$$ Pole rombu wyraża się wzorem: $$P=\frac{d_1\cdot d_2}{2}.$$ Zatem $$96=\frac{ab}{2},$$ $$ab=192.$$

Krok 3. Obliczamy sumę boków prostokąta.
Korzystamy ze wzoru: $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$$ Podstawiamy: $$(a+b)^2=400+2\cdot192=400+384=784.$$ $$a+b=28.$$

Krok 4. Obliczamy obwód prostokąta.
Obwód prostokąta wynosi $$2(a+b)=2\cdot28=56.$$

Odpowiedź: Obwód prostokąta jest równy $$56\ \text{cm}.$$