Zadanie 185

Niech długości przekątnych będą równe: $$d_1=5x,\qquad d_2=3x.$$ W rombie przekątne są prostopadłe i przecinają się w połowie. Zatem połowy przekątnych tworzą z bokiem rombu trójkąt prostokątny.

Połowy przekątnych: $$\frac{d_1}{2}=\frac{5x}{2},\qquad \frac{d_2}{2}=\frac{3x}{2}.$$ Stosujemy twierdzenie Pitagorasa (bok rombu ma długość $17$): $$17^2=\left(\frac{5x}{2}\right)^2+\left(\frac{3x}{2}\right)^2.$$ $$289=\frac{25x^2}{4}+\frac{9x^2}{4}.$$ $$289=\frac{34x^2}{4}.$$ $$289=\frac{17x^2}{2}.$$ $$578=17x^2.$$ $$x^2=34.$$ $$x=\sqrt{34}.$$

Długości przekątnych: $$d_1=5\sqrt{34},\qquad d_2=3\sqrt{34}.$$

Pole rombu wyraża się wzorem: $$P=\frac{d_1\cdot d_2}{2}.$$ Podstawiamy: $$P=\frac{5\sqrt{34}\cdot3\sqrt{34}}{2}.$$ $$P=\frac{15\cdot34}{2}.$$ $$P=255.$$

Odpowiedź: $255\ \text{cm}^2$.