Zadanie 191

Krok 1. Wyznaczamy punkt przecięcia prostych.
$$2x-3=-x+9,$$ $$3x=12,$$ $$x=4,$$ $$y=2\cdot4-3=5.$$ Punkt przecięcia: $$A=(4,5).$$

Krok 2. Szukamy punktu $P=(x,y)$ na prostej $y=2x-3$.
Zatem $$P=(x,2x-3).$$

Krok 3. Warunek odległości.
Odległość punktów $A$ i $P$ ma wynosić $5$: $$\sqrt{(x-4)^2+(2x-3-5)^2}=5.$$ Upraszzamy: $$\sqrt{(x-4)^2+(2x-8)^2}=5.$$ Podnosimy do kwadratu: $$(x-4)^2+(2x-8)^2=25.$$

Krok 4. Rozwiązujemy równanie.
$$(x-4)^2=x^2-8x+16,$$ $$(2x-8)^2=4x^2-32x+64.$$ $$x^2-8x+16+4x^2-32x+64=25,$$ $$5x^2-40x+80=25,$$ $$5x^2-40x+55=0,$$ $$x^2-8x+11=0.$$
$$\Delta=64-44=20,$$ $$x=\frac{8\pm\sqrt{20}}{2}=4\pm\sqrt5.$$

Krok 5. Wyznaczamy współrzędne punktów.
Dla $x=4+\sqrt5$: $$y=2(4+\sqrt5)-3=5+2\sqrt5.$$ Dla $x=4-\sqrt5$: $$y=2(4-\sqrt5)-3=5-2\sqrt5.$$

Odpowiedź: $$P_1=(4+\sqrt5,\;5+2\sqrt5),$$ $$P_2=(4-\sqrt5,\;5-2\sqrt5).$$