Zadanie 146

Skorzystamy ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu:

$ \log_{5}2=\dfrac{\ln 2}{\ln 5}, \qquad \log_{5}3=\dfrac{\ln 3}{\ln 5}. $

Wówczas:

$ a=3^{\log_{5}2} =3^{\frac{\ln 2}{\ln 5}}. $

Zapisujemy potęgę w postaci wykładniczej:

$ a=e^{\ln 3\cdot\frac{\ln 2}{\ln 5}} =e^{\frac{\ln 2\cdot\ln 3}{\ln 5}}. $

Analogicznie:

$ b=2^{\log_{5}3} =2^{\frac{\ln 3}{\ln 5}} =e^{\ln 2\cdot\frac{\ln 3}{\ln 5}} =e^{\frac{\ln 2\cdot\ln 3}{\ln 5}}. $

Otrzymaliśmy:

$ a=e^{\frac{\ln 2\cdot\ln 3}{\ln 5}} \quad \text{oraz} \quad b=e^{\frac{\ln 2\cdot\ln 3}{\ln 5}}. $

Zatem $ a=b. $

Wniosek: $a=b$.