Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy długości $6$. Wysokość ściany bocznej tworzy z płaszczyzną podstawy kąt $45^\circ$. Oblicz wysokość tego ostrosłupa.
Oznaczmy przez $S$ wierzchołek ostrosłupa, przez $O$ środek podstawy, a przez $M$ środek boku podstawy.
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym odcinek $SM$ jest wysokością ściany bocznej, a odcinek $OM$ jest jego rzutem na płaszczyznę podstawy.
Kąt między wysokością ściany bocznej a płaszczyzną podstawy jest więc równy kątowi
$$\angle SMO=45^\circ.$$
Podstawa jest kwadratem o boku $6$, więc odległość środka kwadratu od środka jego boku wynosi
$$OM=\frac{6}{2}=3.$$
W trójkącie prostokątnym $SOM$ mamy:
$$\tan 45^\circ=\frac{SO}{OM}.$$
Ponieważ
$$\tan 45^\circ=1,$$
to
$$1=\frac{SO}{3},$$
$$SO=3.$$